Para definir la
deducción matemática primero definiremos los conceptos de presión y
temperatura.
Presión
En el marco de la teoría cinética la presión de un gas es explicada como
el resultado macroscópico de las fuerzas implicadas por las colisiones de las
moléculas del gas con las paredes del contenedor. La presión puede definirse
por lo tanto haciendo referencia a las propiedades microscópicas del gas.
En general se cree que hay más presión si las partículas se encuentran
en estado sólido, si se encuentran en estado líquido es mínima la distancia
entre una y otra y por último si se encuentra en estado gaseoso se encuentran
muy distantes.
En efecto, para un gas ideal con N moléculas, cada una de masa m y
moviéndose con una velocidad aleatoria promedio o raíz cuadrada de la media
aritmética de los cuadrados de las velocidades, en inglés "root mean
square" vrms = v, contenido en un volumen cúbico V las partículas del gas
impactan con las paredes del recipiente de una manera que puede calcularse de
manera estadística intercambiando momento lineal con las paredes en cada choque
y efectuando una fuerza neta por unidad de área que es la presión ejercida por
el gas sobre la superficie sólida.
La presión puede calcularse como: P=Nmv2/3V (gas ideal)
Temperatura
La ecuación superior dice que la presión de un gas depende directamente de la
energía cinética molecular. La ley de los gases ideales nos permite asegurar
que la presión es proporcional a la temperatura absoluta. Estos dos enunciados
permiten realizar una de las afirmaciones más importantes de la teoría
cinética: La energía molecular promedio es proporcional a la temperatura. La
constante de proporcionales es 3/2 la constante de Boltzmann, que a su vez es
el cociente entre la constante de los gases R entre el número de Avogadro. Este
resultado permite deducir el principio o teorema de equipartición de la
energía.
La energía cinética por Kelvin es:
Por mol 12,47 J
Por molécula 20,7 yJ = 129 μeV
En condiciones estándar de presión y temperatura (273,15 K) se obtiene
que la energía cinética total del gas es:
Por mol 3406 J
Por molécula 5,65 zJ = 35,2 meV
La deducción matemática de la temperatura y la presión bajo la teoría cinética
de la materia
Basándose en la teoría cinética de la materia se puede concluir que la
temperatura juega un papel importante en la materia ya que esta se modifica de
acuerdo al estado en el que se encuentre, cuando ocurre el aumento de
temperatura también aumenta la velocidad media de las moléculas así, mayor
número y fuerza que las moléculas chocan o rebotan contra las paredes del
reciente, la presión es el resultado de aplicar una fuerza sobre la superficie
Según la ley de
Boyle, la frecuencia de las colisiones en la pared es proporcional a la
velocidad molecular y, por tanto, inversamente proporcional a la raíz cuadrada
de la masa molecular M. En consecuencia, a igualdad de temperaturas,
las moléculas más livianas chocan con las paredes del recipiente más frecuentemente
que las más pesadas, aunque estas últimas experimentan en la colisión una mayor
variación del momento. Estos dos factores se anulan mutuamente y la presión del
gas acaba siendo independiente de la naturaleza del gas.
A partir de la expresión
de la velocidad, se puede concluir también que el valor mínimo de la
temperatura absoluta es T = 0 K, este punto se conoce como cero absoluto de
temperaturas, y si experimentalmente
pudiera conseguirse, correspondería a una situación en la que las partículas
estarían estáticas.
Fuente: http://blog-de-fisica-iv-unam.blogspot.com/2014/12/deduccion-matematica-de-la-presion-y-la.html
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